Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M為正方形AA₁D₁D的中心，N為棱AB的中點．
（1）求證：MN∥面BB₁D₁D；
（2）求二面角D₁-MB₁-N的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明MN∥面BB₁D₁D；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D₁-MB₁-N的余弦值．

解答： 解：（1）連結(jié)AD₁，BD₁，易知M∈AD₁，
∵M(jìn)為正方形AA₁D₁D的中心，
∴M是AD₁的中點，
∴MN∥BD，
∵M(jìn)N?平面BB₁D₁D，BD₁?平面BB₁D₁D，
∴MN∥面BB₁D₁D；
（2）分別以DA，DC，DD₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖，
則D₁（0，0，2），B₁（2，2，2），M（1，0，1），N（2，1，0），
則

D1M

=（1，0，-1），

MB1

=（1，2，1），
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面D₁MB₁的法向量，
則

D1M • n =x-z=0 MB1 • n =x+2y+z=0

，
令x=1，則y=-1，z=1，則

n

=（1，-1，1），
設(shè)

m

=（x，y，z）是平面NMB₁的法向量，
∵

MN

=(1，1，-1)，

MB1

=(1，2，1)，
∴

MN • m =x+y-z=0 MB1 • m =x+2y+z=0

，
令x=3，則y=-2，z=1，則

m

=（3，-2，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

42

7

．
易知二面角D₁-MB₁-N為鈍角，
故二面角D₁-MB₁-N的余弦值為-

42

7

．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及空間二面角的計算，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．空間二面角的基本方法．