Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，AC=AB=AA₁=4，∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱錐C₁-ADC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明A₁D⊥BB₁，A₁D⊥B₁C₁，利用線面垂直的判定定理，即可證明A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）轉換底面，即可求三棱錐C₁-ADC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵AA₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
又A₁D?平面A₁B₁C₁，∴A₁D⊥BB₁，
又∵A₁B₁=A₁C₁，D為B₁C₁的中點，∴A₁D⊥B₁C₁，
又BB₁∩B₁C₁=B₁，∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．…（6分）
（2）解：∵AC=AB=AA₁=4，∠BAC=90°，
∴

B

1

C

1

=4

2

，∴

B

1

D=

A

1

D=2

2

，
∴

V	C   1 -ADC

=

V	B   1 -ADC

=

V	A-CD B   1

=

1

3

S

△CD B   1

•

A

1

D=

16

3

．…（13分）

點評：本題考查線面垂直的判定，考查體積的計算，正確運用線面垂直的判定定理是關鍵．