Question

20．已知橢圓的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，若右焦點到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M、N，線段MN的中點為E，MN⊥AE，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得b=1，再由點到直線的距離公式可得c，由a，b，c的關(guān)系，可得a，進而得到橢圓方程；
（2）直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，利用直線與橢圓相交可得m²＜3k²+1，及中點坐標公式可得點E的坐標，從而可得AE的斜率，利用MN⊥AE，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得b=1，
右焦點（c，0）到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3，
可得$\frac{|c+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，解得c=$\sqrt{2}$，
即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）設(shè)E（x_E，y_E）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），E為弦MN的中點，
直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直線與橢圓相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①
∴x_E=$\frac{1}{2}$（x_M+x_N）=-$\frac{3mk}{1+3{k}^{2}}$，從而y_E=kx_E+m=$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$，
k_AE=$\frac{{y}_{E}+1}{{x}_{E}}$=-$\frac{m+1+3{k}^{2}}{3mk}$，
∵AE⊥MN，則-$\frac{m+1+3{k}^{2}}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，即2m=3k²+1，②
把②代入①得m²＜2m，解得0＜m＜2，
由②得k²=$\frac{2m-1}{3}$＞0，解得m＞$\frac{1}{2}$．
故$\frac{1}{2}$＜m＜2．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運算能力，聯(lián)立方程是關(guān)鍵．