Question

10．已知集合A={x|ax²-x+a+2=0，a∈R}．
（1）若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；
（2）若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分a=0和a≠0兩種情況討論；
（2）分A中只有一個元素和A為∅兩種情況討論．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，A={x|-x+2=0}={2}．
當(dāng)a≠0時，則方程ax²-x+a+2=0只有一解，
∴△=1-4a²-8a=0，解得$a=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$．
當(dāng)$a=\frac{{-2+\sqrt{5}}}{2}$時，$A=\left\{{\sqrt{5}+2}\right\}$；當(dāng)$a=\frac{{-2-\sqrt{5}}}{2}$時，$A=\left\{{2-\sqrt{5}}\right\}$．
（2）A中沒有元素時，△＜0，即4a²+8a-1＞0，解得a＜$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$或a＞$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$，
A中只有一個元素時，由（1）得$a=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$或a=0．
綜上，a的取值范圍是（-∞，$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$]∪{0}∪[$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷，對a進行討論是關(guān)鍵．