Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）若f（-1）=0且f（x）≥0在R恒成立，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求使方程f（x）=kx有解的實數(shù)k的取值范圍；
（3）若b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（-1）=0，即為1-a+b=0，f（x）≥0在R恒成立，即有判別式a²-4b≤0，運用完全平方可得a=2，b=1，即可得到f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=kx有解即為x²+2x+1=kx有解．由判別式（2-k）²-4≥0，解不等式即可得到k的范圍；
（3）求出二次函數(shù)的對稱軸方程，討論對稱軸和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，運用函數(shù)的單調(diào)性即可得到最小值；

解答 解：（1）f（-1）=0，即為1-a+b=0，
f（x）≥0在R恒成立，即有判別式a²-4b≤0，
即有a²-4（a-1）≤0，即（a-2）²≤0，
則a=2，b=1，
則有f（x）=x²+2x+1；
（2）方程f（x）=kx有解即為x²+2x+1=kx有解．
即x²+（2-k）x+1=0有解．
由判別式（2-k）²-4≥0，
解得k≥4或k≤0，
即有實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）；
（3）當(dāng)b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1時，f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1，對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
當(dāng)a≤-2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞減，則g（a）=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2；
當(dāng)-2＜a≤2時，即有-1≤-$\frac{a}{2}$＜1，則g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1；
當(dāng)a＞2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞增，則g（a）=f（-1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+a+2，a≤-2}\\{1，-2＜a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+2，a＞2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，同時考查二次方程和函數(shù)的零點的關(guān)系，考查不等式的性質(zhì)和分類討論的思想方法，屬于中檔題．