Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x|（x+m）．g（x）=|x|+|x-1|
（1）若f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，試求實數(shù)m的值
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）-2a有三個零點，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，利用f（0）=0，即可求實數(shù)m的值．
（2）利用函數(shù)和方程之間的關系將函數(shù)轉化為兩個圖象的交點問題，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：（1）若f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
則f（0）=0，即m=0．
（2）∵函數(shù)f（x）+g（x）=2a有三個零點，
∴方程f（x）+g（x）=2a有三個解，
即x|x|+|x|+|x-1|=2a，
設$G（x）=f（x）+g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+1（x＜0）\\{x^2}+1（0≤x＜1）\\{x^2}+2x-1（x≥1）\end{array}\right.$，
畫出G（x）的圖象可知：
若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）-2a有三個零點，
則1＜2a＜2，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜1
故$a∈（\frac{1}{2}，1）$

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的關系的應用，以及函數(shù)奇偶性的應用，利用函數(shù)與方程之間的關系轉化為兩個圖象的交點問題，結合數(shù)形結合是解決本題的關鍵．