Question

（本題滿(mǎn)分12分）在數(shù)列和中，，，，其中且，.
（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等比數(shù)列；
（II）設(shè)，，試問(wèn)在區(qū)間上是否存在實(shí)數(shù)使得.若存在，求出的一切可能的取值及相應(yīng)的集合；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）略
（II）在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)，使成立，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

（Ⅰ）由已知，假設(shè)，，成等比數(shù)列，其中，且彼此不等,則，  ………2分
所以，所以，
若，則，可得，與矛盾；  ………4分
若，則為非零整數(shù)，為無(wú)理數(shù)，
所以為無(wú)理數(shù)，與是整數(shù)矛盾.      
所以數(shù)列中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等比數(shù)列. …………………6分        
（Ⅱ）設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，設(shè)，則，且，
設(shè)，，則，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823161240693438.gif" style="vertical-align:middle;" />，且，所以能被整除.  …………………7分
（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823161240349327.gif" style="vertical-align:middle;" />， ，所以；……9分
（2）當(dāng)時(shí)，，
由于，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，能被整除.…………12分
（3）當(dāng)時(shí)，
，
由于，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，能被整除.   ……11分
綜上，在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)，使成立，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. …………12分