Question

已知函數(shù)f（x）=（asinx+bcosx）•e^-x在x=

π

6

處有極值，則函數(shù)y=asinx+bcosx的圖象可能是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：先對f（x）求導，再利用極值的性質求出a，b的關系式，代入y=asinx+bcosx，再利用函數(shù)的性質（特殊點、單調性等）進行篩選．

解答： 解：∵f′（x）=（acosx-bsinx）•e^-x-（asinx+bcosx）•e^-x=e^-x[（a-b）cosx-（a+b）sinx]，
又∵f（x）=（asinx+bcosx）•e^-x在x=

π

6

處有極值，∴f′(

π

6

)=e-

π

6

[(a-b)cos

π

6

-(a+b)sin

π

6

]=0，
整理得a=

1+ 3

3 -1

b，代入y=asinx+bcosx后得y=b[(2+

3

)sinx+cosx]①，∴y′=b[（2+

3

）cosx-sinx]②，
對于A項，∵f（0）＜0，所以b＜0，此時將x=

π

6

分別代入①②，經(jīng)計算f（

π

6

）＜0，f′(

π

6

)＜0，與圖象相符，所以A選項符合題意；
對于B項，∵f（0）＞0，所以b＞0，此時將x=

π

6

分別代入①②，經(jīng)計算f′(

π

6

)＞0，與圖象在x=

π

6

處是減函數(shù)不符，所以B選項不符合題意；
對于C項，∵f（0）＜0，所以b＜0，此時將x=

π

6

分別代入①②，經(jīng)計算f′(

π

6

)＜0，與圖象在x=

π

6

處是增函數(shù)不符，所以C選項不符合題意；
對于D項，∵f（0）＜0，所以b＜0，此時將x=

π

6

代入①，經(jīng)計算f（

π

6

）＜0，與圖象不符，所以D選項不符合題意．
故選A

點評：由函數(shù)式確定圖象的問題，一般從函數(shù)的性質（定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期、漸近線等）分析入手，注意結合特殊點、極值點的應用．