Question

如圖，S（1，1）是拋物線為y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)，以S為圓心，r為半徑（1＜r＜

2

）做圓，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)SA、SB，分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線CD的斜率為定值；
（Ⅱ）延長(zhǎng)DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，若EC：ED=1：3，求sin2∠CSD+cos∠CSD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,直線的斜率

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）將S坐標(biāo)代入拋物線解析式求出p的值，確定出拋物線解析式，設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），與拋物線方程y²=x聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出y₁，進(jìn)而表示出x₁，即C坐標(biāo)，由SA=SB，得到直線SB的斜率與直線SA斜率互為相反數(shù)，表示出直線CD斜率，化簡(jiǎn)得到結(jié)果為常數(shù)；
求證：直線CD的斜率為定值；
（Ⅱ）設(shè)E（t，0），根據(jù)題意得到

EC

=

1

3

ED

，將各自坐標(biāo)代入求出k的值，確定出A與B坐標(biāo)，進(jìn)而求出cos∠CSD的值，確定出sin∠SCD的值，求出sin2∠CSD的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）將點(diǎn)（1，1）代入y²=2px，得2p=1，即p=

1

2

，
∴拋物線方程為y²=x，
設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），
與拋物線方程y²=x聯(lián)立，消去x得：ky²-y+1-k=0，
∴y₁+1=

1

k

，即y₁=

1

k

-1，
∴C（

(1-k)2

k2

，

1

k

-1），
∵SA=SB，
∴直線SB的斜率為-k，
∴k_CD=

1 k -1+ 1 k +1

(1-k)2 k2 - (1+k)2 k2

=-

1

2

；                                           
（Ⅱ）設(shè)E（t，0），
∵

EC

=

1

3

ED

，
∴（

(1-k)2

k2

-t，

1

k

-1）=

1

3

（

(1+k)2

k2

-t，-

1

k

-1），即

1

k

-1=

1

3

（-

1

k

-1），
解得：k=2，
∴直線SA的方程為y=2x-1，
∴A（

1

2

，0），
同理B（

3

2

，0），
∴cos∠CSD=cos∠ASB=

SA2+SB2-AB2

2SB•SA

=

3

5

，
∴sin∠CSD=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∴sin2∠CSD=2sin∠CSDcos∠CSD=

24

25

，
則sin2∠CSD+cos∠CSD=

39

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及直線的斜率，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．