Question

若對定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）恒有（4-x）f（x）+xf′（x）＞0，則f（x）（　�。�

• A、恒大于等于0
• B、恒小于0
• C、恒大于0
• D、和0的大小關(guān)系不能確定

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

x4f(x)

ex

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值，進(jìn)而可以判斷函數(shù)f（x）的取值情況．

解答： 解：令g（x）=

x4f(x)

ex

，
∴g′（x）=

x3[(x-4)f(x)+xf′(x)]

ex

∵（4-x）f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，g'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得極小值，同時(shí)也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=

x4f(x)

ex

≥g（0），
即g（x）=

x4f(x)

ex

，
當(dāng)x≠0時(shí)，g（x）＞0，
∴當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）＞0，
∵（4-x）f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴當(dāng)x=0時(shí)，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
綜上無論x取何值，恒有f（x）＞0，
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)值判斷，利用條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

x4f(x)

ex

是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查學(xué)生的觀察能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．