Question

已知函數，數列{x_n}滿足x₁=，x_n+1=f（x_n）；若b_n=．
（1）求證數列{b_n}是等比數列，并求其通項公式；
（2）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ為非零整數，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由f（x）的式子給出x_n+1的表達式，然后由b_n的式子給出b_n+1的表達式，再用等比數列的定義證出是一個常數，最后由等比數列的通項公式給出b_n的表達式；
（2）用作差的方法得到一個關于λ和n的不等式，根據變量n的奇偶性將不等式分為兩種情況進行討論，得出λ的范圍，最后從所得范圍中找出λ的整數值．
解答：解：（1）由已知，，
∴=-2，（4分）
∴{b_n}是等比數列，且q=-2；又，∴b_n=（-2）ⁿ．（6分）
（2）要使c_n+1＞c_n恒成立，
即要c_n+1-c_n=[3ⁿ⁺¹-λ（-2）ⁿ⁺¹]-[3ⁿ-λ（-2）ⁿ]=2•3ⁿ+3λ（-2）ⁿ＞0恒成立，
即要恒成立．下面分n為奇數、n為偶數討論：（8分）
①當n為奇數時，即恒成立．又的最小值為1．∴λ＜1．
②當n為偶數時，即恒成立，又的最大值為-，∴λ＞-．
綜上，，又λ為非零整數，
∴λ=-1時，使得對任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．（14分）
點評：本題綜合了函數、數列、不等式三個常見考點，屬于難題．第一小問證明等比數列，抓住函數的表達式是解題的關鍵；第二小問求參數λ的范圍，注意運用變量分離的方法，結合分類討論的思想進行解答．