【題目】已知函數(shù)有兩個極值點.

1)求的取值范圍;

2)設(shè)的兩個極值點,證明.

【答案】12)證明見解析

【解析】

1的定義域為,,設(shè),則由題意得內(nèi)有兩個不等零點,利用導數(shù)性質(zhì)求出,推導出內(nèi)分別存在一個變號零點,由此能求出的取值范圍;

2的極值點就是的零點,即,推導出,,設(shè),,再求導,由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明,即

解:(1)由,,得.

函數(shù)有兩個極值點等價于上有兩個變號零點,

等價于上有兩個變號零點.

,則.

所以時,,單調(diào)遞增;

時,,單調(diào)遞減,所以.

時,恒成立,上單調(diào)遞減,不可能有兩個極值點,舍去;

時,,,,,而,

由零點存在性定理得內(nèi)分別存在一個變號零點,此時有兩個極值點.

綜上,所以求的取值范圍為.

2)因為,的兩個極值點,所以,且.

由(1)知.

,.

,

恒成立,得時,單調(diào)遞減.

,所以時,,即.

所以,所以.

由(1)知單調(diào)遞減,

所以,即.

所以,即,

因為,所以,所以.

.

練習冊系列答案
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(1)的值;

(2)已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有名,非技術(shù)工有.

①完成如下所示列聯(lián)表

技術(shù)工

非技術(shù)工

總計

月工資不高于平均數(shù)

月工資高于平均數(shù)

總計

②則能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系?

參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

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維修次數(shù)

0

1

2

3

臺數(shù)

5

10

20

15

以這50臺機器維修次數(shù)的頻率代替1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記X表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。

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(2)以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù),醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算?

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