Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，BC∥AD，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=2，E，F(xiàn)分別為PA，AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面BEF∥平面PCD；
（Ⅱ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅲ）設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，

PQ

=λ

PD

，試確定λ的值，使得二面角Q-AC-P的余弦值為

3

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出四邊形BCDF是平行四邊形，從而BF∥CD，進(jìn)而CD∥平面BEF，由E，F(xiàn)分別為PA，AD的中點(diǎn)，得EF∥PD，從而PD∥平面BEF，由此能證明平面BEF∥平面PCD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出AC⊥DC，CD⊥PA，由此能證明CD⊥平面PAC．
（Ⅲ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出λ=

1

2

，使得二面角Q-AC-P的余弦值為

3

3

．

解答： （Ⅰ）證明：∵底面ABCD是梯形，BC∥AD，AB=BC=PA=1，AD=2，
∴BC

∥

.

FD，∴四邊形BCDF是平行四邊形，
∴BF∥CD，
∵BF?平面ABF，CD不包含于平面ABF，
∴CD∥平面BEF，
∵E，F(xiàn)分別為PA，AD的中點(diǎn)，
∴EF∥PD，
∵EF?平面BEF，PD不包含于平面BEF，
∴PD∥平面BEF，
∵PD∩CD=D，∴平面BEF∥平面PCD．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知四邊形BCDF是平行四邊形，
又∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=2，
∴∠CBF=∠CDF=∠ACB=45°，
∴∠ACD=90°，∴AC⊥DC，
又∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
（Ⅲ）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，
AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0）
設(shè)Q（a，b，c），則

PQ

=（a，b，c-1），

PD

=（0，2，-1），∵

PQ

=λ

PD

，
∴

a=0 b=2λ c=1-λ

，∴Q（0，2λ，1-λ），
∴

AQ

=（0，2λ，1-λ），

AC

=（1，1，0），
設(shè)平面ACQ的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AQ =2λy+(1-λ)z=0 n • AC =x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，

2λ

1-λ

），
∵CD⊥平面PAC，∴面PAC的法向量為

CD

=(-1，1，0)，
∴二面角Q-AC-P的余弦值為

3

3

，
∴cos＜

CD

，

n

＞=|

-1-1

2 • 2+( 2λ 1-λ )2

|=

3

3

，
解得λ=

1

2

，
∴λ=

1

2

，使得二面角Q-AC-P的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行證明，考查直線與平面垂直的證明，考查滿足入條的實(shí)數(shù)植的確定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．