【題目】已知函數(shù)f(x)=x-ax+(a-1),。
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:若,則對任意x,x,xx,有。
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
分析:(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義可知定義域為大于0的數(shù),求出f′(x)討論當a-1=1時導函數(shù)大于0,函數(shù)單調(diào)遞增;當a-1>1時討論函數(shù)的增減性;(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+x,求出導函數(shù),根據(jù)a的取值范圍得到導函數(shù)一定大于0,則g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),則利用當x1>x2>0時有g(x1)-g(x2)>0即可得證.
詳解:
(1)的定義域為.
.
(i)若即,則,故在上單調(diào)遞增.
(ii)若,而,故,則當時,;
當及時,,
故在單調(diào)遞減,在,單調(diào)遞增.
(iii)若即,同理可得在單調(diào)遞減,在,單調(diào)遞增.
(2)考慮函數(shù),
則
由于,故,即在單調(diào)增加,從而當時有,即,故,
當時,有.
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(1)求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)設點,為曲線上的動點,求的面積的最大值.
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【題目】一個五位自然數(shù)數(shù)稱為“跳躍數(shù)”,如果同時有或(例如13284,40329都是“跳躍數(shù)”,而12345,54371,94333都不是“跳躍數(shù)”),則由1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字且1,4不相鄰的“跳躍數(shù)”共有_____個.
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【題目】已知函數(shù)的導函數(shù)為,且對任意的實數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù)),且,若關于的不等式的解集中恰有唯一一個整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,三棱柱中, 是正三角形,四邊形是矩形,且.
(1)求證:平面平面;
(2)若點在線段上,且,當三棱錐的體積為時,求實數(shù)的值.
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【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為(0,1)
(1)求拋物線C的方程;
(2)設直線l2:y=kx+m與拋物線C有唯一公共點P,且與直線l1:y=﹣1相交于點Q,試問,在坐標平面內(nèi)是否存在點N,使得以PQ為直徑的圓恒過點N?若存在,求出點N的坐標,若不存在,說明理由.
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【題目】已知動點P是△PMN的頂點,M(﹣2,0),N(2,0),直線PM,PN的斜率之積為﹣ .
(1)求點P的軌跡E的方程;
(2)設四邊形ABCD的頂點都在曲線E上,且AB∥CD,直線AB,CD分別過點(﹣1,0),(1,0),求四邊形ABCD的面積為時,直線AB的方程.
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若直線且曲線在A處的切線與在B處的切線相互平行,求a的取值范圍;
(Ⅱ)設在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點且若不等式恒成立,求的取值范圍.
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