Question

(華南師大附中模擬)已知函數(shù)(x＞0)．

(1)當(dāng)0＜a＜b，且f(a)=f(b)時，求證：ab＞1；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)故f(x)在(0，1]上是減函數(shù)，而在上是增函數(shù)，由0＜a＜b而f(a)=f(b)得0＜a＜1＜b，即，而，所以ab＞1． (2)不存在這樣的實(shí)數(shù)a，b．假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，b使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域是都是[a，b]，①當(dāng)0＜a＜b＜1時，函數(shù)在(0，1]上是減函數(shù)，則即解得a=b，與0＜a＜b＜1矛盾，故此時不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b． ②當(dāng)1＜a＜b時，函數(shù)在上是增函數(shù)，則即此時實(shí)數(shù)a，b為方程的兩根，但方程無實(shí)數(shù)根，因此不存在滿足條件的實(shí)a，b． ③當(dāng)0＜a＜1＜b時，顯然有，而(這是因?yàn)?/FONT>a＞0)，故此時不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b． 綜合①②③可得滿足條件的實(shí)數(shù)是不存在的．