Question

10．已知函數(shù)f（x）=sinωx-sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）．
（1）若f（x）在[0，π]上的值域為[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，求ω的取值范圍；
（2）若f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)，且f（0）+f（$\frac{π}{3}$）=0，求ω的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、周期性求得ω的取值范圍．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性求得ω的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），故有$\frac{ωπ}{6}$-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，由此ω的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sinωx-sin（ωx+$\frac{π}{3}$）=sinωx-sinωxcos$\frac{π}{3}$-cosωxsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx=sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
在[0，π]上，ωx-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，ωπ-$\frac{π}{3}$]，sin（ωx-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴ωπ-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]，ω∈[$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{3}$]．
（2）∵f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)，∴$\frac{π}{3}$-0≤$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，∴0＜ω≤3．
∵f（0）+f（$\frac{π}{3}$）=0，∴f（$\frac{π}{6}$）=0，故函數(shù)的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），故有$\frac{ωπ}{6}$-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，∴ω=2k+2，
∴ω=2．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、周期性以及圖象的對稱性，屬于中檔題．