Question

1．等腰△ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的中線，且BD=3，則△ABC的面積最大值為6．

Answer 1

分析 設(shè)AB=AC=2x，三角形的頂角θ，則由余弦定理求得cosθ的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得sinθ，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達(dá)式，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值．

解答 解：設(shè)AB=AC=2x，AD=x．
設(shè)三角形的頂角θ，則由余弦定理得cosθ=$\frac{（2x）^{2}+{x}^{2}-9}{2×2x×x}$=$\frac{5{x}^{2}-9}{4{x}^{2}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{5{x}^{2}-9}{4{x}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{-9{x}^{4}-81+90{x}^{2}}{16{x}^{4}}}$=$\sqrt{\frac{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}{16{x}^{4}}}$，
∴根據(jù)公式三角形面積S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}$×2x•2x•$\sqrt{\frac{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}{16{x}^{4}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}$，
∴當(dāng) x²=5時，三角形面積有最大值 6．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．運(yùn)算量較大．