設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+1
-ax，其中a＞0，
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)函數(shù)．
（1）不等式f（x）≤1即
x2+1
≤1+ax，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常數(shù)a＞0．
所以，原不等式等價(jià)于
x2+1≤(1+ax)2
x≥0.

即
x≥0
(a2-1)x+2a≥0
（3分）
所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，所給不等式的解集為{x|0≤x≤
2a
1-a2
}；
當(dāng)a≥1時(shí)，所給不等式的解集為{x|x≥0}．（6分）
（2）證明：在區(qū)間[0，+∞）上任取x1，x2
使得x1＜x2f(x1)-f(x2)=
x21
+1
-
x22
+1
-a(x1-x2)
=
x21
-
x22
x21
+1
+
x22
+1
-a(x1-x2)
=(x1-x2)(
x1+x2
x21
+1
+
x22
+1
-a)．(9分)
∵
x1+x2
x21
+1
+
x22
+1
＜1，且a≥1，
∴
x1+x2
x21
+1
+
x22
+1
-a＜0，
又x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）．
所以，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

當(dāng)p1，p2，…，pn均為正數(shù)時(shí)，稱
n
p1+p2+…+pn
為p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且其前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n+1
．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=
an
2n+1
（n∈N*），試比較cn+1與cn的大�。�
（3）設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
，是否存在最大的實(shí)數(shù)λ，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有f（x）≤0恒成立？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c，(x＜0)
-x+3，(x≥0)
，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）若方程f（x）=k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx-
1
4
為偶函數(shù)，且f(cos
B
2
)=0．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC的面積為
3
4
，其外接圓的半徑為
2
3
3
，求△ABC的周長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c，-4≤x＜0
-x+3，0≤x≤4
，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的定義域、值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2-x+n
x2+x+1
(x∈R，x≠
n-1
2
，x∈N*)，f（x）的最小值為an，最大值為bn，記cn=（1-an）（1-bn）
則數(shù)列{cn}是
常數(shù)
常數(shù)
數(shù)列．（填等比、等差、常數(shù)或其他沒(méi)有規(guī)律）

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