Question

15．已知a＞0．b＞0，且a+b=1．
（1）求證：2a²+3b²≥$\frac{6}{5}$；
（2）求證：（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）≥$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式，即可證明結(jié)論；
（2）考慮用基本不等式求得0＜ab≤$\frac{1}{4}$，直接展開(kāi)左側(cè)，利用基本上的性質(zhì)，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）∵（2a²+3b²）（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$）≥（a+b）²，a+b=1，
∴2a²+3b²≥$\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{6}{5}$；
（2）∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根據(jù)基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
又（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）=$\frac{{a}^{2}+1}{a}•\frac{^{2}+1}$=ab+$\frac{2}{ab}$-2≥$\frac{1}{4}$+8-2=$\frac{25}{4}$（取等號(hào)時(shí)a=b=$\frac{1}{2}$）
∴：（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）≥$\frac{25}{4}$

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查不等式的證明問(wèn)題，其中涉及到基本不等式的應(yīng)用和柯西不等式證明不等式，涵蓋知識(shí)點(diǎn)少，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題目．