Question

若函數(shù)y=f（x）對于一切實數(shù)x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并證明y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（1）=3，在（2）的情況下，解不等式f（x）＜-9．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件，令x=y=0，則f（0）=2f（0），即可得到f（0），由條件可令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，由奇偶性的定義即可判斷；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由于當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＜0，則f（x₂-x₁）＜0，即有f（x₂）+f（-x₁）＜0，再由（2）的結(jié)論和單調(diào)性的定義，即可判斷．
（3）先求出f（-3）=9，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由于當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＜0，
則f（x₂-x₁）＜0，即有f（x₂）+f（-x₁）＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
故x∈R時，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=[f（1）+f（1）]+f（1）=3f（1）=9，
又y=f（x）是奇函數(shù)；
∴f（-3）=-f（3）=-9，
∵f（x）＜-9=f（-3），
又f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
∴x＞-3
故不等式的解集為（-3，+∞）

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．