Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)，0≤α＜π），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，已知曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，射線$θ=ϕ，θ=ϕ+\frac{π}{4}，θ=ϕ-\frac{π}{4}$與曲線C₂相交，交點(diǎn)分別為A，B，C（A，B，C均不與O重合）．
（1）求證：$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$；
（2）當(dāng)$ϕ=\frac{π}{12}$時(shí)，B，C兩點(diǎn)在曲線C₁上，求m與α的值．

Answer 1

分析 （1）射線$θ=ϕ，θ=ϕ+\frac{π}{4}，θ=ϕ-\frac{π}{4}$（Φ∈$[0，\frac{π}{4}）$）分別與曲線C₂聯(lián)立解得：A（4cosΦ，Φ），B（4cos（Φ+$\frac{π}{4}$），Φ+$\frac{π}{4}$），C（4cos（Φ-$\frac{π}{4}$），Φ），化簡(jiǎn)|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$×4×cosΦ，即可證明$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$．
（2）曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)，0≤α＜π），當(dāng)$ϕ=\frac{π}{12}$時(shí)，B$（2，\frac{π}{3}）$，C$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，可得直角坐標(biāo)B$（1，\sqrt{3}）$，C$（3，\sqrt{3}）$．根據(jù)兩點(diǎn)在曲線C₁上，即可得出．

解答 （1）證明：射線$θ=ϕ，θ=ϕ+\frac{π}{4}，θ=ϕ-\frac{π}{4}$（Φ∈$[0，\frac{π}{4}）$）分別與曲線C₂聯(lián)立解得：A（4cosΦ，Φ），B（4cos（Φ+$\frac{π}{4}$），Φ+$\frac{π}{4}$），
C（4cos（Φ-$\frac{π}{4}$），Φ），
則|OB|+|OC|=4cos（Φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（Φ-$\frac{π}{4}$）=2×4×cosΦ•cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$×4×cosΦ=$\sqrt{2}$|OA|．
∴$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$；
（2）解：曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)，0≤α＜π），
當(dāng)$ϕ=\frac{π}{12}$時(shí)，B$（2，\frac{π}{3}）$，C$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，可得直角坐標(biāo)B$（1，\sqrt{3}）$，C$（3，\sqrt{3}）$．
∵兩點(diǎn)在曲線C₁上，∴α=0，m∈R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化公式、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．