Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+

3

sin2x-1+m，其中x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最小值為4，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡，進(jìn)而根據(jù)周期公式求得函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值；利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由已知找到f（x）取最小值為4時(shí)的x值，得到關(guān)于m的方程．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+

3

sin2x+m=2sin（2x+

π

6

）+m，
∴T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）由x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，six（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴-

1

2

×2+m=4，
解得m=5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題時(shí)可注意與正弦函數(shù)圖象相結(jié)合來求周期、單調(diào)區(qū)間以及最值．