Question

【題目】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=2，a3=18．?dāng)?shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2 ， Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8 ， 其中n=1，2，3，…．試比較Pn與Qn的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè){an}的公比為q，由a3=a1q2得q2= =9，q=±3．

①當(dāng)q=﹣3時(shí)，a1+a2+a3=2﹣6+18=14＜20，

這與a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．

②當(dāng)q=3時(shí)，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合題意．

∴an=a1qn﹣1=2×3n﹣1

設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26，

得4b1+ d=26，結(jié)合b1=2，解之得d=3，

所以bn=bn+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1

綜上所述，數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=2×3n﹣1、bn=3n﹣1；

（2）解：∵b1，b4，b7，…，b3n﹣2組成以3d為公差的等差數(shù)列，

∴Pn=nb1+ 3d= n2﹣ n；

同理可得：b10，b12，b14，…，b2n+8組成以2d為公差的等差數(shù)列，且b10=29，

∴Qn=nb10+ 2d=3n2+26n．

因此，Pn﹣Qn=（ n2﹣ n）﹣（3n2+26n）= n（n﹣19）．

所以對(duì)于正整數(shù)n，當(dāng)n≥20時(shí)，Pn＞Qn；當(dāng)n=19時(shí)，Pn=Qn；當(dāng)n≤18時(shí)，Pn＜Qn．

【解析】（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合題意算出數(shù)列{an}的公比q=±3．討論可得當(dāng)q=﹣3時(shí)與題意矛盾，故q=3可得an=2×3n﹣1 ． 由此得到{bn}的前4項(xiàng)和等于a1+a2+a3=26，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式算出公差d=3，得bn=3n﹣1；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得b1 ， b4 ， b7 ， …，b3n﹣2和b10 ， b12 ， b14 ， …，b2n+8分別組成以3d、2d為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式算出Pn= n2﹣ n、Qn=3n2+26n．作差后，因式分解得Pn﹣Qn= n（n﹣19），結(jié)合n為正整數(shù)加以討論，即可得到Pn與Qn的大小關(guān)系，從而使本題得到解決．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．