Question

18．（1）定理：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與平面的一條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直，則這條直線(xiàn)垂直于斜線(xiàn)．
試證明此定理：如圖1所示：若PA⊥α，A是垂足，斜線(xiàn)PO∩α=O，a?α，a⊥AO，試證明a⊥PO

（2）如圖2，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC₁B₁及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD₁，試證明動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段B₁C上．

Answer 1

分析 （1）利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與判定定理，即可證明a⊥PO；
（2）連接AC，BD，AB₁，A₁B，證明BD₁⊥平面AB₁C，由AP⊥BD₁，平面AB₁C∩平面BCC₁B₁=B₁C，得出P在線(xiàn)段B₁C上．

解答 解：（1）證明：如圖1所示，
∵PA⊥α，a?α，
∴PA⊥a，
又∵a⊥AO，且PA∩AO=A，
∴a⊥平面PAO，
PO?平面PAO；
∴a⊥PO；---（6分）

（2）證明：如圖2所示，

連接AC，BD，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥BD₁；
連接AB₁，A₁B，
∵AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥BD₁，
又∵AB₁∩CB₁=B₁，
∴BD₁⊥平面AB₁C，
∵AP⊥BD₁，A∈平面AB₁C，
∴P∈平面AB₁C；
∵P∈平面BCC₁B₁，
平面AB₁C∩平面BCC₁B₁=B₁C，
∴P在線(xiàn)段B₁C上．----（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，考查了線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，是綜合性題目．