Question

13．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是C₁D₁，CC₁的中點(diǎn)，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（　　）

• A． -$\frac{{5\sqrt{6}}}{18}$
• B． -$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• D． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出異面直線AE與BF所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，E，F(xiàn)分別是C₁D₁，CC₁的中點(diǎn)，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{BF}$=（-2，0，1），
設(shè)異面直線AE與BF所成角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF|}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴異面直線AE與BF所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．