【題目】已知點A(0,2),B(4,6), =t1 +t2 ,其中t1、t2為實數(shù);
(1)若點M在第二或第三象限,且t1=2,求t2的取值范圍;
(2)求證:當(dāng)t1=1時,不論t2為何值,A、B、M三點共線;
(3)若t1=a2 ,且△ABM的面積為12,求a和t2的值.

【答案】
(1)解:由A(0,2),B(4,6),

=(4,4),

=t1 +t2 =(4t2,2t1+4t2),

又點M在第二象限或第三象限,

,

又t1=2,

解得t2<0且t2≠﹣1,

∴t2的取值范圍是(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)


(2)證明:t1=1時,

=t1 +t2 = +t2 ,

=t2 ,

=t2 ,

∴不論t2為何值,A、B、M三點共線


(3)解:∵當(dāng)t1=a2時, =(4t2,4t2+2a2),

又∵ =(4,4),

∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0,

∴t2=﹣ a2

=(﹣a2,a2);

又∵| |=4 ,

點M到直線AB:x﹣y+2=0的距離為

d= = |a2﹣1|;

∵SABM=12,

| |d= ×4 × |a2﹣1|=12,

解得a=±2,此時t2=﹣ a2=﹣1


【解析】(1)由題設(shè)條件,得 =(4t2 , 2t1+4t2),又點M在第二象限或第三象限,列出不等式求出t2的取值范圍;(2)由平面向量的共線定理,得 =t2 ,能證明A,B,M三點共線;(3)由t1=a2表示出 、 ,利用 求出t2=﹣ a2 , 再由SABM=12求出a的值和t2的值.
【考點精析】本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義的相關(guān)知識點,需要掌握如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量,有且只有一對實數(shù)、,使才能正確解答此題.

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