Question

20．如圖，所有棱長(zhǎng)都相等的直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，B′D′中點(diǎn)為E′
（Ⅰ）證明：AE′∥平面BC′D；
（Ⅱ）求證：BD⊥AE′．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)E，則E為AC中點(diǎn)，推導(dǎo)出四邊形ACC′A′為平行四邊形，連結(jié)C′E，則四邊形AEC′E′為平行四邊形，從而AE′∥C′E，由此能證明AE′∥平面BC′D．
（Ⅱ）推導(dǎo)出AC⊥BD，AA′⊥BD，從而BD⊥平面ACC′A′，由此能證明BD⊥AE′．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)E，如圖所示：

由四邊形ABCD的四邊相等，得E為AC中點(diǎn)，
連結(jié)A′C′，由四邊形A′B′C′D′四邊相等，得A′C′與B′D′交于B′D′中點(diǎn)E′，
又在棱柱中，AA′∥CC′，AA′=CC′，
∴四邊形ACC′A′為平行四邊形，
∴AC∥A′C′，AC=A′C′，∴C′E′=AE，C′E′∥AE，
連結(jié)C′E，則四邊形AEC′E′為平行四邊形，∴AE′∥C′E，
∵AE′?平面BC′D，C′E?平面BC′D，
∴AE′∥平面BC′D．
（Ⅱ）∵四邊形ABCD四邊相等，∴AC⊥BD，
∵AA′⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA′⊥BD，
∵AA′∩AC=A，AA′?平面ACC′A′，AC?平面ACC′A′，
∴BD⊥平面ACC′A′，
∵AE′?平面ACC′A′，∴BD⊥AE′．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．