Question

8．在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD與CDEF均為正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH．
（Ⅰ）求證：GH⊥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角D-FG-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接FH，推導(dǎo)出CD⊥平面BCFG，從而CD⊥GH，進而EF⊥GH．由勾股定理得GH⊥FG，由此能證明GH⊥平面EFG．
（Ⅱ）以DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-FG-E的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接FH，由題意知CD⊥BC，CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．
又∵GH?平面BCFG，∴CD⊥GH．
又∵EF∥CD，∴EF⊥GH．
設(shè)AB=a，則$BH=\frac{1}{4}a，BG=\frac{1}{2}a$，
∴$G{H^2}=B{G^2}+B{H^2}=\frac{5}{16}{a^2}$，$F{G^2}={（CF-BG）^2}+B{C^2}=\frac{5}{4}{a^2}，F(xiàn){H^2}=C{F^2}+C{H^2}=\frac{25}{16}{a^2}$，
則FH²=FG²+GH²，∴GH⊥FG．
又∵EF∩FG=F，∴GH⊥平面EFG．
解：（Ⅱ）∵CF⊥平面ABCD，AD⊥DC，
∴以DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設(shè)AB=4，則D（0，0，0），E（0，0，4），F(xiàn)（0，4，4），G（4，4，2），H（3，4，0），
∴$\overrightarrow{DF}=（0，4，4），\overrightarrow{EF}=（0，4，0），\overrightarrow{FG}=（4，0，-2）$．
設(shè)$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$為平面DFG的法向量，x₁=1
則由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FG}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{4{y_1}+4{z_1}=0}\\{4{x_1}-2{z_1}=0}\end{array}}\right.$取，則$\overrightarrow{n_1}=（1，-2，2）$．
設(shè)$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$為平面EFG的法向量，
由（Ⅰ）知GH⊥平面EFG，則可取$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{HG}=（1，0，2）$．
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{5}{{3×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴二面角D-FG-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．