Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=$\frac{π}{3}$，b（1-cosC）=ccosA，b=2，則△ABC的面積為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知等式利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理可得sinBcosC=sinAcosC，可得cosC=0，或sinB=sinA，分類討論，分別利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵在△ABC中，b（1-cosC）=ccosA，可得：b=ccosA+bcosC，
∴sinB=sinCcosA+sinBcosC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得：sinBcosC=sinAcosC，
∴cosC=0，或sinB=sinA，
∵A=$\frac{π}{3}$，b=2，
∴當(dāng)cosC=0時，C=$\frac{π}{2}$，a=$\frac{2}{tan\frac{π}{6}}$=2$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)sinB=sinA時，可得A=B=C=$\frac{π}{3}$，a=b=c=2，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題．