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如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，，， .

(1)求證：平面；
(2)求四面體的體積.
(1)證明：見解析；（2）四面體的體積.

試題分析：（1）設正方形ABCD的中心為O，取BE中點G，連接FG，OG，由中位線定理，我們易得四邊形AFGO是平行四邊形，即FG∥OA，由直線與平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；
（2）由已知中正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我們可以得到AB⊥平面ADEF，結合DE=DA=2AF=2．分別計算棱錐的底面面積和高，代入棱錐體積公式即可求出四面體BDEF的體積．（1）的關鍵是證明出FG∥OA，（2）的關鍵是得到AB⊥平面ADEF，即四面體BDEF的高為AB．
試題解析：(1)證明：設，取中點，
連結，所以，
因為，，所以，
從而四邊形是平行四邊形，.             2分
因為平面,平面,                4分
所以平面，即平面.           6分
（2）解：因為平面平面，,
所以平面.                                  8分
因為,,，
所以的面積為，                    10分
所以四面體的體積.           12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點G為AC的中點．

（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；
（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側面為矩形，，，為的中點，與交于點，側面.

（1）證明：；
（2）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

某個實心零部件的形狀是如下圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱.

（1）證明：直線平面；
（2）現(xiàn)需要對該零部件表面進行防腐處理.已知，，，（單位：），每平方厘米的加工處理費為元，需加工處理費多少元？

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在三棱錐中，側棱長均為，底邊，，，、分別為、的中點.

（1）求三棱錐的體積；
（2）求二面角的平面角.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖是一個直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側視圖、俯視圖.在直觀圖中，是的中點.又已知側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形,有關數據如圖所示.

(1)求證:EM∥平面ABC;
(2)試問在棱DC上是否存在點N,使NM⊥平面? 若存在,確定
點N的位置;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

一個棱長都為的直三棱柱的六個頂點全部在同一個球面上，則該球的表面積為(      )
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知某球體的體積與其表面積的數值相等，則此球體的半徑為        ．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

球的球面上有三點，，過三點作球的截面，球心到截面的距離為，則該球的體積為_______.

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