Question

13．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期值；
（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最值及取最值時x的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡函數f（x），再由正弦函數的周期性得答案；
（2）由正弦函數的單調性得答案；
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得到$2x+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，再求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}（2sinxcosx）+\frac{1}{2}（1-2si{n}^{2}x）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=$sin2xcos\frac{π}{6}+cos2xsin\frac{π}{6}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）$，
$T=\frac{2π}{2}=π$，
∴f（x）的最小正周期是π；
（2）由（1）得$-\frac{π}{2}-2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
即$-\frac{π}{3}-kπ≤x≤\frac{π}{6}-kπ$，（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為：$[-\frac{π}{3}-kπ，\frac{π}{6}-kπ]$，k∈Z；
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$2x+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
故當$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，即$x=\frac{π}{6}$時，f（x）有最大值，最大值為1，
故當$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，即$x=\frac{π}{2}$時，f（x）有最小值，最小值為-1．

點評 本題考查三角函數的二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查正弦函數的周期性和單調性，屬于中檔題．