Question

8．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖是全等的等腰直角三角形，則這個(gè)幾何體外接球體積與該幾何體的體積之比為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$π
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$π
• D． $\frac{\sqrt{3}}{8}$π

Answer 1

分析 三視圖可知該幾何體為一個(gè)四棱錐，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，可將該四棱錐補(bǔ)成正方體，去求解幾何體外接球體積，求出幾何體的體積，即可得出結(jié)論．

解答 解：由三視圖知該幾何體為四棱錐，記作S-ABCD，
其中SA⊥面ABCD．面ABCD為底面邊長為1的正方形，且SA=1，
將此四棱錐補(bǔ)成正方體，易知正方體的體對角線即為外接球直徑，所以2r=$\sqrt{3}$．
所以幾何體外接球體積V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$，
因?yàn)閹缀误w的體積為$\frac{1}{3}×1×1×1$=$\frac{1}{3}$，
所以這個(gè)幾何體外接球體積與該幾何體的體積之比為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$π．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查三視圖求幾何體的體積，考查計(jì)算能力，空間想象能力，轉(zhuǎn)化能力，將四棱錐補(bǔ)成正方體是關(guān)鍵．