Question

已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，離心率為．

（1）若，求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn)．若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：解法一：（1）由已知橢圓的半焦距c=3，又，根據(jù)離心率的定義得，則，

所以，從而得出所求橢圓的方程為．

（2）根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立直線方程y=kx與橢圓方程 ，

消去y得 ，則 ，因?yàn)樵�點(diǎn)O在圓上，所以O(shè)M⊥ON，

根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可知四邊形為矩形，所以，又所以

，因此 ，

即 ，從而可整理得 ，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061506094617876468/SYS201506150610019137502807_DA/SYS201506150610019137502807_DA.018.png"> ，所以

，即，從而，所以，因此，解得．（如圖所示）

解法二：（1）由題意得，得．

結(jié)合 ，解得． 3分

所以橢圓的方程為． 4分

（2）由 ， 得．

設(shè) ．

所以， 6分

依題意，OM⊥ON，

易知，四邊形為平行四邊形，

所以， 7分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061506094617876468/SYS201506150610019137502807_DA/SYS201506150610019137502807_DA.037.png">，

所以， 8分

即， 9分

將其整理為． 10分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061506094617876468/SYS201506150610019137502807_DA/SYS201506150610019137502807_DA.041.png">，所以，． 11分

所以，即． 13分

考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系