Question

3．已知定義在R上的奇函數f（x），若f（x）的導函數f'（x）滿足f'（x）＜x²+1，則不等式f（x）＜$\frac{1}{3}$x³+x的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 構造函數F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³-x，則F（x）為減函數，且F（0）=0，從而得出f（x）＜$\frac{1}{3}$x³+x即F（x）＜0的解集．

解答 解：設F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}{x}^{3}-x$，∵f'（x）＜x²+1，
∴F′（x）=f′（x）-x²-1＜0，
∴F（x）在R上是減函數．
∵f（x）是R上的奇函數，∴f（0）=0，
∴F（0）=f（0）=0，
∴當x＞0時，F（x）＜0，即f（x）＜$\frac{1}{3}{x}^{3}$+x，
∴不等式f（x）＜$\frac{1}{3}$x³+x的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，奇函數的性質，屬于中檔題．