Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）x=0代入即可．
（2）x，-x代入求解得出：f（x-x）=f（x）f（-x），f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，分類判斷即可．

解答 解：（1）∵對(duì)于任意的a，b∈R都滿足f（a+b）=f（a）•f（b）．
∴f（0）=f（0）•f（0），
f（0）=0或f（0）=1，
f（x-x）=f（x）f（-x）
如果f（0）=0．
則可判斷f（x）與f（-x）有為0的，
與數(shù)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，矛盾
∴f（0）=1，
（2）∵f（x-x）=f（x）f（-x）
∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，
當(dāng)f（x）=1時(shí)，f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)f（x）≠1時(shí)，f（x）不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)性質(zhì)，運(yùn)用特殊值法求解函數(shù)值，判斷函數(shù)奇偶性，屬于中檔題．