Question

9．已知橢圓的右焦點F（m，0），左、右準線分別為l₁：x=-m-1，l₂：x=m+1，且l₁，l₂分別與直線y=x相交于A，B兩點．
（1）若離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求橢圓的方程；
（2）當$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$＜7時，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由準線方程為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=m+1，即可求得a²=m（m+1），b²=m，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）A（-m-1，-m-1），B（m+1，m+1），求得$\overrightarrow{AF}$=（2m+1，m+1），$\overrightarrow{FB}$=（1，m+1），由$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$=m²+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{m}{\sqrt{m（m+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{m}}}$，即可求得橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：（1）橢圓的右焦點F（m，0），故焦點在x軸上，設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴c=m，準線方程為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=m+1，
∴a²=m（m+1），b²=m   …2分
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c，從而m=1，…4分
故a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$； …6分
（2）由題意可知：A（-m-1，-m-1），B（m+1，m+1），
∴$\overrightarrow{AF}$=（2m+1，m+1），$\overrightarrow{FB}$=（1，m+1），…9分
故$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$=2m+1+（m+1）²=m²+4m+2＜7，
解得：0＜m＜1，…12分
由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{m}{\sqrt{m（m+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{m}}}$，…14分
故所求的離心率范圍為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．…16分．

點評 本題考查橢圓方程及簡單幾何性質，考查向量數(shù)量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．