【題目】已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上恒有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知，且，在（2）的條件下，證明數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

【答案】（Ⅰ）的極大值點為，極小值點為;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的零點，研究導(dǎo)函數(shù)的符號變化，進而確定函數(shù)的極值點；（2）求導(dǎo)、作差、分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為， ，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（3）利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.

試題解析：（1）當(dāng)時， ，

.

令得： .

又，且時， ， 時， .

所以，函數(shù)的極大值點為，極小值點為.

（2）因為，由，得，

即， .

又（∵）,∴.

（3）①當(dāng)時， ,又 , ∴，且，

∴ .

∴，即當(dāng)時結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)時，有，且，則當(dāng)時，

．

∴， 即當(dāng)時結(jié)論成立．

由①，②知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】“雞兔同籠”問題是我國古代著名的趣題之一.《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題.書中這樣描述:今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔幾何?

試設(shè)計一個算法,輸入雞兔的總數(shù)量和雞兔的腳的總數(shù)量,分別輸出雞、兔的數(shù)量,寫出程序語句.并畫出相應(yīng)的程序框圖.

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（1）求曲線， 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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【題目】太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相互統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”.下列有關(guān)說法中：

①對圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；

②函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)；

③存在圓，使得是圓的太極函數(shù)；

④直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù).

所有正確說法的序號是__________．

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【題目】選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，實數(shù)），曲線

（為參數(shù)，實數(shù)）. 在以為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與交于兩點，與交于兩點. 當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

（1）求的值； （2）求的最大值.

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【題目】已知函數(shù)（）將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，設(shè)，已知對任意的恒成立，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)的極大值是函數(shù)的極小值的倍，并且，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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【題目】在某單位的職工食堂中，食堂每天以元/個的價格從面包店購進面包，然后以元/個的價格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以元/個的價格賣給飼料加工廠．根據(jù)以往統(tǒng)計資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示．食堂某天購進了個面包，以（單位：個， ）表示面包的需求量， （單位：元）表示利潤．

（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)解析式；

（Ⅱ）求食堂每天面包需求量的中位數(shù)；

（Ⅲ）根據(jù)直方圖估計利潤不少于元的概率；

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【題目】全世界越來越關(guān)注環(huán)境保護問題，某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

空氣質(zhì)量指數(shù)

空氣質(zhì)量等級

空氣優(yōu)

空氣良

輕度污染

中度污染

重度污染

天數(shù)

（1）根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出的值，并完成頻率分布直方圖：

（2）由頻率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)；

（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為和的監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取天，從中任意選取天，求事件 “兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.

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