Question

6．已知雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$有相同的焦點(diǎn)，且以$x+\sqrt{2}y=0$為其一條漸近線，則雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$，過(guò)其右焦點(diǎn)且長(zhǎng)為4的弦有3條．

Answer 1

分析 利用已知條件求得雙曲線方程，求弦長(zhǎng)為4時(shí)可先尋找臨界的直線，一條平行x軸，一條垂直x軸．

解答 解：由雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$有相同的焦點(diǎn)，可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{6-{a}^{2}}=1$，
以$x+\sqrt{2}y=0$為其一條漸近線，所以$\frac{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，①6=a²+b²②，
由①②解得：a²=4，b²=2．
所以雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}，0$），當(dāng)過(guò)右焦點(diǎn)的直線垂直x軸時(shí)，代入雙曲線方程得y=±1，即弦長(zhǎng)為2＜4，故過(guò)右焦點(diǎn)的在右支上有2條弦長(zhǎng)為4的直線，
加上過(guò)右焦點(diǎn)的x軸的弦長(zhǎng)為2+2=4．故一共有3條．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線方程得求解方法和求定長(zhǎng)的弦長(zhǎng)的個(gè)數(shù)，屬于中檔題，在選擇題填空題中常涉及．