Question

14．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)過點F₁且斜率為-1的直線與橢圓交于第二象限的P點，過P、B、F₁三點的圓為⊙M．是否存在過原點的定直線l與⊙M相切？并請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|得，a²+b²=3c²，又b²=a²-c²，即可求橢圓的離心率；
（Ⅱ）確定PB為圓M的直徑，假設(shè)過原點O的直線l的斜率為k，則方程為y=kx，利用l與圓M相切，求出k，即可求出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓右焦點F₂（c，0）．
由|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|得，a²+b²=3c²，
又b²=a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴橢圓的離心率為e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$     …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²=2c²，b²=c²，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$…（4分）
∵過點F₁且斜率為-1的直線與橢圓交于第二象限的P點，
∴由直線代入橢圓方程，解得P（-$\frac{4c}{3}$，$\frac{c}{3}$），
又F₁（-c，0），B（0，c），…（6分）
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（-$\frac{c}{3}$，$\frac{c}{3}$），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（c，c），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，
∴PB為圓M的直徑，
即圓心M（-$\frac{2c}{3}$，$\frac{2c}{3}$），半徑r=$\frac{1}{2}$|PB|=$\frac{\sqrt{5}c}{3}$，…（10分）
假設(shè)過原點O的直線l的斜率為k，則方程為y=kx，
若l與圓M相切，則$\frac{|-\frac{2ck}{3}-\frac{2c}{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}c}{3}$，整理得k²-8k+1=0，
解得：k=4±$\sqrt{15}$，…（11分）
∴存在過原點的定直線l，方程為：y=（4±$\sqrt{15}$）x，與圓M相切．…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．