分析 (1)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),則線段AB的中點為C$(\frac{a+b}{2},\frac{a-2b}{2})$.可得$\frac{a+b}{2}$-2×$\frac{a-2b}{2}$=0,$\frac{a}{a-1}$=$\frac{-2b}{b-1}$,聯(lián)立解出a,b,即可得出.
(2)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),(a,b>0).a(chǎn)=b=1時,A(1,1),B(1,-2),S△OAB=$\frac{1}{2}$×|OP|×|AB|.a(chǎn),b≠1時,S△OAB=$\frac{1}{2}$×|OP|×(a+2b)=$\frac{1}{2}$(a+2b),又$\frac{a}{a-1}=\frac{2b}{1-b}$,化為a+2b=3ab,利用基本不等式的性質(zhì)可得a+2b的取值范圍.
(3)設(shè)直線AB的方程為:my=x-1.$(m≠1,-\frac{1}{2})$.聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{x=y}\end{array}\right.$,解得A$(\frac{1}{1-m},\frac{1}{1-m})$,可得|PA|=$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{|1-m|}$.同理可得|PB|=$\frac{2\sqrt{1+{m}^{2}}}{|1+2m|}$.可得|PA||PB|.進而得出最小值.
解答 解:(1)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),則線段AB的中點為C$(\frac{a+b}{2},\frac{a-2b}{2})$.
∴$\frac{a+b}{2}$-2×$\frac{a-2b}{2}$=0,$\frac{a}{a-1}$=$\frac{-2b}{b-1}$,
分別化為:a=5b,a+2b-3ab=0.
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{7}{3}}\\{b=\frac{7}{15}}\end{array}\right.$,
∴直線AB的方程為:y-0=$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3}-1}$(x-1),化為:7x-4y-7=0.
(2)設(shè)A(a,a),B(b,-2b),(a,b>0).
a=b=1時,A(1,1),B(1,-2),S△OAB=$\frac{1}{2}$×|OP|×|AB|=$\frac{1}{2}×1×3$=$\frac{3}{2}$.
a,b≠1時,S△OAB=$\frac{1}{2}$×|OP|×(a+2b)=$\frac{1}{2}$(a+2b),
又$\frac{a}{a-1}=\frac{2b}{1-b}$,化為a+2b=3ab,
∴a+2b=3ab=$\frac{3}{2}×a•2b$≤$\frac{3}{2}×(\frac{a+2b}{2})^{2}$,解得:a+2b≥$\frac{8}{3}$.
∴S△OAB≥$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$,
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=$\frac{4}{3}$時取等號.
綜上可得:當(dāng)△AOB的面積取最小值$\frac{4}{3}$時,直線AB的方程為:y=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}-1}$(x-1),化為:4x-y-4=0.
(3)設(shè)直線AB的方程為:my=x-1.$(m≠1,-\frac{1}{2})$.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{x=y}\end{array}\right.$,解得A$(\frac{1}{1-m},\frac{1}{1-m})$,可得|PA|=$\sqrt{(1-\frac{1}{1-m})^{2}+(\frac{1}{1-m})^{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{|1-m|}$.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$,解得B$(\frac{1}{1+2m},\frac{-2}{1+2m})$,可得|PB|=$\sqrt{(1-\frac{1}{1+2m})^{2}+(\frac{-2}{1+2m})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{1+{m}^{2}}}{|1+2m|}$.
∴|PA|•|PB|=$\frac{2(1+{m}^{2})}{|(1-m)(1+2m)|}$=$\frac{2(1+{m}^{2})}{|2{m}^{2}-m-1|}$=$\frac{2}{|2-\frac{m+3}{1+{m}^{2}}|}$=f(m),
m=-3時,f(-3)=1;
令m+3=k≠0,f(m)=g(k)=$\frac{2}{|2-\frac{k}{{k}^{2}-6k+10}|}$=$\frac{2}{|2-\frac{1}{k+\frac{10}{k}-6}|}$,
k<0時,g(k)=$\frac{2}{|2+\frac{1}{-k+\frac{10}{-k}+6}|}$≥$\frac{2}{|2+\frac{1}{2\sqrt{10}+6}|}$=$\frac{12+4\sqrt{10}}{13+4\sqrt{10}}$.
k>0時,g(k)=$\frac{2}{|2-\frac{1}{k+\frac{10}{k}-6}|}$≥$\frac{2}{|2-\frac{1}{2\sqrt{10}-6}|}$=$\frac{4\sqrt{10}-12}{13-4\sqrt{10}}$,
而$\frac{12+4\sqrt{10}}{13+4\sqrt{10}}$<$\frac{4\sqrt{10}-12}{13-4\sqrt{10}}$,
∴g(k)的最小值為:$\frac{12+4\sqrt{10}}{13+4\sqrt{10}}$.
當(dāng)且僅當(dāng)k=-$\sqrt{10}$時取等號.
∴m=-$\sqrt{10}$-3.
∴直線AB的方程為:(-$\sqrt{10}$-3)y=x-1.
點評 本題考查了中點坐標(biāo)公式、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、直線的方程,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.
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A. | a7 | B. | a8 | C. | a9 | D. | a10 |
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A. | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\sqrt{6}$ | D. | 2 |
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