Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（4）=1，已知f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）′的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a、b滿(mǎn)足f（2a+b）＜1，則

a+2b+3

a+1

的取值范圍是（　�。�

• A、（

  7

  5

  ，

  5

  3

  ）
• B、（-∞，

  1

  3

  ）∪（5，+∞）
• C、（

  5

  3

  ，11）
• D、（-∞，3）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合法

分析：由已知導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合已知條件，得出a，b滿(mǎn)足的條件，畫(huà)出可行域，而

a+2b+3

a+1

變形后，表示的是斜率．

解答： 解：由f（x）′的圖象知，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵f（2a+b）＜1且f（4）=1⇒2a+b＜4，
∴a，b 滿(mǎn)足

2a+b＜4 a＞0 b＞0

畫(huà)出可行域△0AB內(nèi)部，如圖所示：

a+2b+3

a+1

=1+2×

b+1

a+1

，∵

b+1

a+1

表示可行域△OAB內(nèi)部的點(diǎn)與點(diǎn)P（-1，-1）的斜率，
∴KPA＜

b+1

a+1

＜KPB，又KPA=

0+1

2+1

=

1

3

，KPB=

4+1

0+1

=5，
∴

5

3

＜1+2×

b+1

a+1

＜11．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的了，函數(shù)的單調(diào)性，線性規(guī)劃，數(shù)形結(jié)合．屬于常規(guī)題，中等難度．