Question

20．函數(shù)f（x）=2sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為2．

Answer 1

分析 利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，[0，$\frac{π}{2}$]上時(shí)求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$
化簡可得：f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
當(dāng)x在[0，$\frac{π}{2}$]上時(shí)，
可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2．
故答案為2．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．