Question

5．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n²，求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n²，然后利用數(shù)列的分組求和解得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得數(shù)列{b_n）的前2n項(xiàng)和T_2n．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$，得當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{（{a}_{1}+1）^{2}}{4}$，得a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}-\frac{（{a}_{n-1}+1）^{2}}{4}$，化簡(jiǎn)得：
（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，得a_n-a_n-1=2（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）∵b_n=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n²，
∴T_2n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n
=（-1-1²）+（3+3²）+（-5-5²）+（7+7²）+…+[（4n-1）+（4n-1）²]
=（-1+3）+（-5+7）+…+[-（4n-3）+（4n-1）]+（-1²+3²）+（-5²+7²）+…+[-（4n-3）²+（4n-1）²]
=2n+8[1+3+5+…+（2n-1）]
=2n+8•$\frac{1+（2n-1）}{2}•n$=8n²+2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的分組求和，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．