Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1（k∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)k=1時，求證：2f（x）≤2-x-e^1-x恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：求出k=$\frac{lnx+1}{x}$，令g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，通過討論k的范圍，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可；
法二：求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，求出f（x）的最大值，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可；
（Ⅱ）法一：問題轉(zhuǎn)化為e^1-x+2f（x）-2-x=2lnx-x+e^1-x≤0，令g（x）=2lnx-x+e^1-x，令h（x）=2-x-xe^1-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；法二：同法一，判斷函數(shù)單調(diào)性時略有區(qū)別．

解答 解：（Ⅰ）法1：由已知∵x＞0，∴k=$\frac{lnx+1}{x}$，
令g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，g′（x）=$\frac{1-（lnx+1）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$=0，
x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=1，
x→+∞，g（x）→0，x→0，g（x）→-∞，
綜上：k≤0或k=1時，有1個零點(diǎn)
0＜k＜1時，有2個零點(diǎn)，
k＞1時，有0個零點(diǎn)；
法2：f′（x）=$\frac{1-kx}{x}$，
k≤0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x→0，f（x）→-∞，x→+∞，f（x）→+∞，
所以，有1個零點(diǎn)，
k＞0時，f′（x）=$\frac{1-kx}{x}$=0，x=$\frac{1}{k}$＞0，
x∈（0，$\frac{1}{k}$），f（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x∈（$\frac{1}{k}$，+∞），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=ln（$\frac{1}{k}$），
k＞1時，f（x）_max=ln（$\frac{1}{k}$）＜0，0個零點(diǎn)，
k=1時，f（x）_max=ln（$\frac{1}{k}$）=0，1個零點(diǎn)，
0＜k＜1時，f（x）_max=ln（$\frac{1}{k}$）＞0，
x→0，f（x）→-∞，x→+∞，f（x）→-∞，
所以，此時有2個零點(diǎn)
綜上：k≤0或k=1時，有1個零點(diǎn)
0＜k＜1時，有2個零點(diǎn)
k＞1時，有0個零點(diǎn)；
（Ⅱ）證明：法一：要證2f（x）≤2-x-e^1-x，
即證e^1-x+2f（x）-2-x=2lnx-x+e^1-x≤0，
令g（x）=2lnx-x+e^1-x，
g′（x）=$\frac{2-x-{xe}^{1-x}}{x}$，
令h（x）=2-x-xe^1-x，h′（x）=-1+（x-1）e^1-x，
x∈（0，1），h′（x）＜0，
x∈（1，+∞），h′（x）=$\frac{x-1{-e}^{x-1}}{{e}^{x-1}}$，
令m（x）=x-1-e^x-1，m′（x）=1-e^x-1＜0，
即h′（x）＜0，∴h（x）單調(diào)遞減，
h（1）=-e^1-x+$\frac{2}{x}$-1=0，x∈（0，1），h（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＜g（1）=0，
x∈（1，+∞），h（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）＜g（1）=0，
綜上：g（x）≤g（1）=0；
法二：要證2f（x）≤2-x-e^1-x，
即證e^1-x+2f（x）-2-x=2lnx-x+e^1-x≤0，
令g（x）=2lnx-x+e^1-x，g′（x）=-e^1-x+$\frac{2}{x}$-1，
令h（x）=-e^1-x+$\frac{2}{x}$-1，h′（x）=$\frac{{x}^{2}-{2e}^{x-1}}{{{x}^{2}e}^{x-1}}$，
令m（x）=x²-2e^x-1，m′（x）=2x-2e^x-1，
令t（x）=2x-2e^x-1，t′（x）=2-2e^x-1=2（1-e^x-1），
x∈（0，1），t′（x）＞0，m′（x）單調(diào)遞增，x∈（1，+∞），t′（x）＜0，m′（x）單調(diào)遞減，
m′（x）_max=m′（1）=0，∴m′（x）≤0，
∴m（x）單調(diào)遞減，m（0）=-1，
∴m（x）＜0，∴h′（x）＜0，∴h（x）單調(diào)遞減，
h（1）=-e^1-x+$\frac{2}{x}$-1=0，x∈（0，1），h（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＜g（1）=0，
x∈（1，+∞），h（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）＜g（1）=0，
綜上：g（x）≤g（1）=0..

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)的基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運(yùn)算求解與推理論證的能力，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具解決函數(shù)與方程、不等式綜合問題的能力．考查數(shù)形結(jié)合，分類與整合，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．