在△ABC中已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an+Sn=4，
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列
（2）對于任意正整數(shù)k，都使
Sk+1-2k+1
Sk-4
＞m成立，求實數(shù)m的取值范圍．
考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）再寫一式，兩式相減得an+1=
1
2
an，即可證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列
（2）求出Sn，可得
Sk+1-2k+1
Sk-4
=
1
2
+
2k-1-1
2-k
≤
1
2
，即可求實數(shù)m的取值范圍．
解答： （1）證明：由題意，an+Sn=4，an+1+Sn+1=4，兩式相減得an+1=
1
2
an，
當n=1時，a1+S1=2a1=4，得a1=2．
∴數(shù)列{an}是以首項a1=2，公比為
1
2
的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知Sn=4[1-(
1
2
)n]
∴
Sk+1-2k+1
Sk-4
=
1
2
+
2k-1-1
2-k
≤
1
2
，
∵對于任意正整數(shù)k，都使
Sk+1-2k+1
Sk-4
＞m成立，
∴m＜
1
2
．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查等比數(shù)列的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知年總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R（x）=
400x-
1
2
x2，0≤x≤400
80000，x＞400.
則總利潤最大時．求每年的產(chǎn)量．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：
6
2
（
2
4
+
6
4
）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={x|x=12m+8n+4l，m，l，n∈Z}，集合N={x|x=20p+16q+12r，p，q，r∈Z}，試探究集合M和集合N之間的關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}中，a2=1+cosα，a3=
cos2α+4cosα+3
2
，90°＜α＜180°
（1）1+3cosα+3cos2α+cos3α是數(shù)列中的第幾項？
（2）若tan（180°-α）=
4
3
，求數(shù)列{an}前n項的和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線L交拋物線于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線的切線，設兩切線的交點為M，求點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一元二次方程x2-（2m-1）x+5-3m=0的兩根x1、x2滿足0＜x1＜1＜x2＜2，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
sin（ωx+
π
6
）+
1
2
sin（ωx-
π
6
）-cos2
ωx
2
+
1
2
（ω＞0）且函數(shù)f（x）的最小正周期是2π，求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題中：
①若函數(shù)f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②若f（x）是定義域為R的函數(shù)，對于任意的x∈R都有f（-x）=f（2+x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③已知x1，x2是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的兩個值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），則f（x）是減函數(shù)；
④已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x∈R的都有f（x+1）=f（-x+1）則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
其中正確的命題序號是
 
．

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