17.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊的邊長分別為a,b,c,已知2sin2$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$sinA.
(I)求角A的大;
(II)若$\frac{a}{c}$=2cosB,求$\frac{a}$的值.

分析 (I)由已知利用二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)基本關系式,結(jié)合sin$\frac{A}{2}$≠0,可求tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$,由A的范圍可求A的值.
(II)由已知利用余弦定理可得b=c,結(jié)合A=$\frac{2π}{3}$,利用正弦定理可求$\frac{a}$的值.

解答 (本題滿分為14分)
解:(I)∵2sin2$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$sinA=2$\sqrt{3}$sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$,
又0<A<π,可得:0<$\frac{A}{2}$<$\frac{π}{2}$,
故sin$\frac{A}{2}$≠0,
故sin$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$,tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$,A=$\frac{2π}{3}$.…7分
(II)由$\frac{a}{c}$=2cosB,得$\frac{a}{c}$=2×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$,
化簡得b=c,…10分
故在△ABC中,A=$\frac{2π}{3}$,b=c,
由此可得$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\sqrt{3}$.…14分.

點評 本題主要考查了二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)基本關系式,余弦定理,正弦定理在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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