Question

已知x，y滿足約束條件

x-y+5≥0 x≤3 x+y+k≥0

，則z=2x+4y的最小值為-6，則3|x-1|+y的最大值是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用線性規(guī)劃的知識先求出k的值，然后利用絕對值的幾何意義，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)分別求出m的最大值，比較即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=2x+4y得y=-

1

2

x+

z

4

，
平移直線y=-

1

2

x+

z

4

，由圖象可知當直線y=-

1

2

x+

z

4

經(jīng)過點C時，
直線y=-

1

2

x+

z

4

的截距最小，此時z最小，
由

x=3 2x+4y=-6

，解得

x=3 y=-3

，
即C（3，-3），此時C也在直線x+y+k=0上，即k=0．
設(shè)m=3|x-1|+y，
則y=-3|x-1|+m=

-3x+3+m， x≥1 3x+m-3， x＜1

，
當x≥1時，平移直線y=-3x+3+m，此時當直線y=-3x+3+m經(jīng)過點A時，截距最大，此時m最大，
當x＜1時，平移直線y=3x-3+m，此時當直線y=3x-3+m經(jīng)過點B時，截距最大，此時m最大，
由

x=3 x-y+5=0

，解得

x=3 y=8

，即A（3，8），此時m=3×2+8=14，
由

x-y+5=0 x+y=0

，解得

x=- 5 2 y=- 5 2

，即B（-

5

2

，-

5

2

），此時m=3×

7

2

-

5

2

=8，
綜上m的最大值為14，
故答案為：14

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義先求出k的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．