Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，_an=

an-1

an-1+2

(n≥2)，則使得a_k＞

1

2009

的最大正整數(shù)k為（　�。�

• A、5
• B、7
• C、8
• D、10

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{

1

an

+1}構(gòu)成以

1

a1

+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由此求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式后結(jié)合a_k＞

1

2009

求得最大正整數(shù)k的值．

解答： 解：由_an=

an-1

an-1+2

(n≥2)，得
a_na_n-1+2a_n=a_n-1，
即1+

2

an-1

=

1

an

，
∴

1

an

+1=2(

1

an-1

+1)（n≥2），
∴數(shù)列{

1

an

+1}構(gòu)成以

1

a1

+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
則

1

an

+1=2n，
an=

1

2n-1

．
由a_k＞

1

2009

，得

1

2k-1

＞

1

2009

，
即2^k＜2010．
∵k為正整數(shù)，
∴k的最大值為10．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了不等式的解法，是中檔題．