Question

9．已知函數(shù)$y=3sin（2x+\frac{π}{4}），x∈[0，π]$
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）求使函數(shù)取得最大值、最小值時的自變量x的值，并分別寫出最大值、最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)取得最大值、最小值，以及此時的自變量x的值．

解答 解：（1）對于函數(shù) y=3sin（2x+$\frac{π}{4}$ ），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
再結(jié)合x∈[0，π]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z；再結(jié)合x∈[0，π]，可得函數(shù)的減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]．
（2）∵函數(shù) y=3sin（2x+$\frac{π}{4}$ ），x∈[0，π]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，
令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的最大值為3；
令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，求得x=$\frac{5π}{8}$，可得函數(shù)的最小值為-3．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．