Question

4．若函數(shù)$f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（{\frac{π}{3}，0}）對(duì)稱$，且在$x=\frac{π}{6}$處函數(shù)有最小值，則a+ω在[0，10]上的一個(gè)可能值是3．

Answer 1

分析 由函數(shù)解析式結(jié)合對(duì)稱性可得ω=-9-6k，φ=kπ+3π，k∈Z，進(jìn)一步求得a，可得a+ω=-9-6k，k∈Z，則答案可求．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sinωx+acosωx=$\sqrt{1+{a}^{2}}（\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}sinωx+\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}cosωx）$=$\sqrt{1+{a}^{2}}sin（ωx+φ）$（tanφ=a）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，0）對(duì)稱，
∴$\frac{π}{3}ω+$φ=kπ，k∈Z，①
又在$x=\frac{π}{6}$處函數(shù)有最小值，則$\frac{π}{6}ω+$φ=$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，②
聯(lián)立①②得，ω=-9-6k，φ=kπ+3π，k∈Z．
∴a=tan（kπ+3π）=0，
∴a+ω=-9-6k，k∈Z．
又a+ω∈[0，10]，∴當(dāng)k=-2時(shí)，a+ω=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正余弦函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸與周期間的關(guān)系，即相鄰的對(duì)稱軸及對(duì)稱點(diǎn)之間相差半個(gè)周期等，是中檔題．